일차함수의 개념과 그래프 그리기

오늘은 지난 시간에 이어서 일차함수가 무엇인지 알아보고, 그 그래프를 쉽게 이해하기 위한 그래프를 그리는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

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일차함수의 개념과 그래프 그리기

복습

1. 함수란 무엇일까요?

함수는 입력(x) 하나를 넣었을 때 출력(y) 하나가 나오는 규칙을 말합니다.

• 예: 자판기에 1번을 누르면 콜라, 2번을 누르면 사이다가 나오는 것처럼,
• 수학에서는 x를 넣었을 때 y가 딱 하나 정해지는 어떤 식을 함수라고 합니다.

2. 일차함수란?

일차함수는 다음과 같은 수식으로 나타낼 수 있습니다.

$$
y = ax + b
$$

• a: 기울기 (x가 1 늘어날 때 y가 얼마나 변하는지를 나타냅니다)
• b: y절편 (x=0일 때 y의 값, 즉 y축과 만나는 점을 말합니다)

예시 수식을 통해 기울기와 y절편을 알아봅시다.

예시)

$$
y = 2x + 1
$$

• 기울기: 2 → x가 1 증가할 때마다 y는 2 증가
• y절편: 1 → x가 0일 때 y는 1

수식으로만 보니 무슨 말인지 이해가 잘 안된다면, 한번 그래프라는 것으로 그려보도록 하겠습니다.
여기서 말하는 그래프는 좌표평면에 수식의 변화를 그리는 것을 말하는데,
좌표평면이란 데카르트라는 사람이 만든 방법으로, 평면 공간에 각각의 점, 선 등의 위치를 표현하는 방법을 일컫는 말이에요.
이건 나중에 설명하기로 하고, 그래프로 넘어가겠습니다.

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3. 그래프란?

그래프는 수식의 결과를 눈으로 보기 쉽게 그림으로 나타낸 것입니다

쉽게 그래프를 그리는 방법은 다음과 같습니다.

• x값을 하나씩 넣고 y값을 구한 다음, 그 점들을 좌표평면에 찍고 선으로 연결합니다.
• 일차함수의 그래프는 항상 직선이 됩니다.

그러면 실제로 한번 그려봅시다.

4. 직접 일차함수 그래프를 그리는 방법

예시 함수:
$$
y = 2x + 1
$$

1단계: x값을 여러 개 정해보기
예: x = -2, -1, 0, 1, 2

2단계: 각각의 x값에 대해 y값을 계산

x값을 예시 함수에 대입하고, y값을 구해봅시다.
정리하면 아래 표와 같이 나올 겁니다.

x	y = 2x + 1
-2	-3
-1	-1
0	1
1	3
2	5

3단계: 좌표평면에 점 찍기
수식에 x를 넣었을 때, 각각 어떤 y가 나왔는지를 보고, 각각 쌍으로 묶어주세요.
그리고 해당 (x,y) 쌍을 좌표 평면에 찍어보겠습니다.

• (-2, -3), (-1, -1), (0, 1), (1, 3), (2, 5)

4단계: 점들을 선으로 연결하면 직선이 완성됩니다

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5. 파이썬으로 그래프 보기 (선택)

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def f(x):
    return 2 * x + 1

x = np.linspace(-5, 5, 100)
y = f(x)

x_points = np.arange(-2, 3)
y_points = f(x_points)

plt.plot(x, y, label='y = 2x + 1', color='blue')
plt.scatter(x_points, y_points, color='red')

# 각 점에 좌표 표시 (왼쪽 위로 이동)
for i in range(len(x_points)):
    plt.text(x_points[i] - 0.4, y_points[i] + 0.4,
             f'({x_points[i]}, {y_points[i]})',
             fontsize=9, color='darkred')

plt.axhline(0, color='gray', linestyle='--')
plt.axvline(0, color='gray', linestyle='--')
plt.title("일차함수 y = 2x + 1")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

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6. 요약

1. 함수는 x값을 넣으면 y값이 정해지는 규칙입니다
2. 일차함수는 **y = ax + b** 꼴로, 그래프는 **직선**으로 나타납니다. 같은 형식이면 전부 직선입니다.
3. x값을 여러 개 넣어 y를 구하고, 좌표에 점을 찍고 연결하면 그래프가 됩니다. 한번 그려보세요

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추가 TIP:

일차함수의 그래프는 방향만 보면 어떤 함수인지 예측할 수 있습니다.

1. 기울기 > 0, 즉 0보다 큰 경우 오른쪽으로 올라갑니다 (증가)
2. 기울기 < 0, 0보다 작은 경우에는 오른쪽으로 내려갑니다 (감소)
3. 기울기 = 0인 경우에는 수평선을 그립니다. 이때는 x와 평행하게, y절편을 통과하는 수평선이 됩니다.

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기울기와 y절편을 바꿔가면서 여러가지 그래프를 그려보시면 각 그래프마다 어떤 차이가 있는지를 확인할 수 있을 거라고 생각합니다.
읽어주셔서 감사합니다~