연립일차방정식

들어가며

미지수가 2개인 연립일차방정식 해결하기

중학교 이후 과정에서 자주 등장하는 연립일차방정식은 두 개의 미지수와 두 개의 방정식을 통해 두 개의 미지수의 값을 구하는 문제입니다. 기존에 포스팅했던 방식을 이용해서 연립일차방정식을 해결해봅시다.

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1. 연립일차방정식이란?

두 개의 미지수를 포함한 두 개의 1차 방정식을 동시에 만족하는 해 $x, y$를 구하는 문제를 말합니다. 
$x, y$ 외에도 다른 미지수가 올 수도 있으니 주의해봅시다.

예제 문제:

2x + 3y = 13
4x -  y = 5

이러한 두 개의 식을 동시에 만족하는 $x$와 $y$ 값을 구하는 것이 목표이며,
이러한 값을 구하는 방법을 연립일차방정식이라고 합니다.

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2. 해법

연립방정식을 풀기 위한 대표적인 방법은 다음과 같습니다.

• 대입법: 한 식에서 한 변수를 다른 변수로 나타내어 다른 식에 대입하거나
• 가감법: 두 식을 더하거나 빼서 하나의 미지수를 제거하는 방법입니다.

예제 풀이 (가감법으로 풀어보기):

예제 풀이 (가감법):

(1)  2x + 3y = 13
(2)  4x -  y = 5

위처럼 2개의 식이 있다고 가정해봅시다.

(1)번식 전체에 2를 곱하면, 다음과 같이 변합니다. 이것을 (1)'라고 하겠습니다. 

(1)' 4x + 6y = 26

이제 (1)'식에서 (2)식을 빼는 과정을 작성해보겠습니다.

(1)' - (2): (4x + 6y) - (4x - y) = 26 - 5
=> 4x + 6y - 4x + y = 21
=> 7y = 21
=> y = 3

위의 식을 통해, y가 3이라는 결론을 얻었습니다.
이 값을 기존의 (1)식에 대입해봅시다.

(1) 2x + 3y = 13 
2x + 3(3) = 13 #y에 3을 대입
=> 2x + 9 = 13
=> 2x = 4
=> x = 2

따라서 해는 $(x, y)$는 각각 $(2, 3)$이라는 것을 알 수 있습니다.

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3. 파이썬으로 구현하기

지난번 포스팅처럼 sympy 라이브러리를 이용해서 풀어봅시다.  
새롭게 언급하는 함수는 Eq와 solve로, 각각 방정식과 해를 구하는 과정을 연산할 수 있는 함수입니다.

from sympy import symbols, Eq, solve

# 변수 선언
x, y = symbols('x y')

# 방정식 정의
eq1 = Eq(2*x + 3*y, 13)
eq2 = Eq(4*x - y, 5)

# 연립방정식 풀이
solution = solve((eq1, eq2), (x, y))
print("해:", solution)

실행 결과:

해: {x: 2, y: 3}

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4. 응용 문제

문제: 사과 2개와 바나나 3개의 가격이 13000원이고, 사과 4개와 바나나 1개의 가격이 15000원일 때, 사과와 바나나의 가격을 각각 구하시오.

파이썬 코드에 변수의 값만 바꿔서 작성하면 위의 문제도 금방 해결할 수 있습니다.
중요한 것은 문제를 읽고, 문제를 다항식으로 표현한 후, 해당 방정식을 풀 수 있으면 됩니다.
처음에는 조금 어렵겠지만, 위의 문제를 아래처럼 다항식으로 표현해봅시다.

다항식으로 표현하기 

2a + 3b = 13000 #사과 2개, 바나나 3개의 가격은 13000원
4a +  b = 15000 #사과 4개, 바나나 1개의 가격은 15000원

 

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5. 정리

• 연립일차방정식은 두 개의 식을 통해 두 미지수를 푸는 방법입니다.
• 실생활 문제(가격 계산 등)에도 자주 응용되는 방법으로, 가감법과 대입법을 주로 사용합니다.

지난 포스팅에 이어서  sympy라는 라이브러리를 사용해봤습니다.
기존에 작성했던 방법에 비해 훨씬 간단하게 미지수의 값을 구할 수 있지만,
값을 구하는 것이 아니라 중요한 것이 아니라 어떤 방법으로, 어떤 순서를 거쳐 값을 구하는지를 알아가는 것이 더 중요합니다.
이러한 절차적인 사고방식은 수학 뿐만 아니라 다양한 분야에서 쓰이므로, 천천히 몸에 익혀보시길 바랍니다.

오늘도 읽어주셔서 감사합니다.