일차함수와 미지수가 2개인 일차방정식의 관계

일차함수와 미지수가 2개인 일차방정식의 관계

중학교 수학에서는 '일차방정식'과 '일차함수'를 각각 배우게 됩니다. 그런데 이 둘은 사실 밀접하게 연결되어 있다는 것을 아시나요?
이번 포스팅에서는 두 개념이 어떻게 연결되어 있는지, 그리고 그 관계를 파이썬으로 어떻게 확인할 수 있는지를 알아보겠습니다.

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개념 정리

1. 미지수가 2개인 일차방정식

미지수가 2개인 일차방정식은 다음과 같은 형태로 나타납니다:

$$
ax + by = c
$$

• 여기서 $x$와 $y$는 미지수이고,
• $a, b, c$는 정해진 수(상수)입니다.

이 방정식은 하나만으로는 x와 y의 값을 하나로 정할 수 없습니다. 대신 이 방정식을 만족하는 무수히 많은 $(x, y)$쌍이 존재합니다.

2. 일차함수

일차함수는 다음과 같은 형태로 표현됩니다:

$$
y = ax + b
$$

이 식은 주어진 x에 대해 y가 하나로 정해지는 함수로, 이를 통해 모든 $(x, y)$쌍을 만들어낼 수 있습니다.

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두 개념을 연결해봅시다

우리는 $ax + by = c$를 $y = mx + n$의 형태로 바꾸면 함수로 바뀐다는 걸 알 수 있습니다.

예를 들어 다음과 같은 일차방정식을 생각해봅시다:

$$
2x + 3y = 6
$$

이것을 y에 대해 정리하면, 다음과 같이 정리됩니다.
좌변에 y를, 우변에 나머지 항들을 옮겨보곘습니다.

$$
3y = -2x + 6 \Rightarrow y = -\frac{2}{3}x + 2
$$

→ 이때 우리는 이 식이 일차함수의 형태라는 것을 알 수 있습니다.

즉, 2개의 미지수를 가진 일차방정식은 곧 직선 그래프를 갖는 일차함수와 같은 의미입니다.

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파이썬으로 그래프를 그려서 확인해보기

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 방정식: 2x + 3y = 6
# 이를 y = -2/3 x + 2 로 변형해보기

def f(x):
    return (-2/3) * x + 2

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = f(x)

plt.plot(x, y, label='y = -2/3x + 2', color='blue')
plt.axhline(0, color='gray', linestyle='--')
plt.axvline(0, color='gray', linestyle='--')

# 눈에 잘 띄는 점 찍기
x_points = np.arange(-6, 7, 3)
y_points = f(x_points)
plt.scatter(x_points, y_points, color='red') #빨간색으로 찍기
for i in range(len(x_points)):
    plt.text(x_points[i], y_points[i] + 0.5,
             f"({x_points[i]}, {y_points[i]:.1f})",
             ha='center', fontsize=9, color='darkred')

plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

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결과 해설

이 그래프는 방정식 $2x + 3y = 6$을 만족하는 모든 점들의 집합입니다.
이 방정식을 y에 대해 정리하면 일차함수 형태가 되며, 이를 그래프로 나타내면 하나의 직선이 됩니다.
즉, 미지수가 2개인 일차방정식의 해는 모두 그래프 위의 점들이고, 그 점들을 이은 선이 바로 일차함수의 그래프입니다.

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함수와 방정식을 따로 배웠다면, 이제는 둘 사이의 연결 고리를 이번 포스팅을 통해 이어보시길 바랍니다.
직선은 그저 선이 아니라, 수많은 해(점)들을 그래프로 표현한 것이라는 걸 기억하시면 되겠습니다!